数据库关系代数（Mysql）

下面用最经典的学生-课程数据库，把关系代数所有常用运算一次性讲全，
每条都配：含义 + 语法 + MySQL 对照 SQL + 例子结果说明。

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0. 示例表结构（全程用这 3 张表）

1）学生表 Student

S(Sno, Sname, Sage, Ssex, Sdept)

• Sno：学号
• Sname：姓名
• Sage：年龄
• Ssex：性别
• Sdept：所在系

2）课程表 Course

C(Cno, Cname, Credit, Tno)

• Cno：课号
• Cname：课程名
• Credit：学分
• Tno：教师号

3）选课表 SC

SC(Sno, Cno, Grade)

• Sno：学号
• Cno：课号
• Grade：成绩

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1. 传统集合运算

1.1 并（Union）∪

含义：两个同结构关系的所有元组，去重合并。

关系代数：

R ∪ S

MySQL：

SELECT * FROM R
UNION
SELECT * FROM S;

例子：
查询计算机系 或 数学系的所有学生。

σ[Sdept='CS'(S)] ∪ σ[Sdept='MA'(S)]

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1.2 交（Intersection）∩

含义：同时出现在 R 和 S 中的元组。

关系代数：

R ∩ S

MySQL：

SELECT * FROM R
INTERSECT
SELECT * FROM S;

例子：
查询既选了 1 号课，又选了 2 号课的学生学号。

π[Sno(σ[Cno=1(SC])] ∩ π[Sno(σ[Cno=2(SC])]

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1.3 差（Difference）−

含义：在 R 中但不在 S 中的元组。

关系代数：

R − S

MySQL：

SELECT * FROM R
EXCEPT
SELECT * FROM S;

例子：
查询选了课但没选 1 号课的学生。

π[Sno(SC)] − π[Sno(σ[Cno=1(SC])]

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2. 专门关系运算（核心）

2.1 选择 σ（Selection）

行过滤：满足条件的元组。

语法：

σ[条件](关系)

例子 1：查询计算机系学生

σ[Sdept='CS'(S)]

SQL：

SELECT * FROM Student WHERE Sdept = 'CS';

例子 2：成绩 ≥ 90

σ[Grade>=90(SC)]

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2.2 投影 π（Projection）

列过滤：保留某些属性，去掉重复行。

语法：

π[属性列表](关系)

例子：查询所有学生的姓名和所在系

π[Sname,Sdept(S)]

SQL：

SELECT DISTINCT Sname, Sdept FROM Student;

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2.3 笛卡尔积 ×（Cartesian Product）

所有元组两两组合，不加条件。

语法：

R × S

SQL：

SELECT * FROM R, S;
-- 或
SELECT * FROM R CROSS JOIN S;

例子：学生 × 课程

S × C

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2.4 自然连接 ⋈（Natural Join）

自动按同名属性等值连接，去重公共列。

语法：

R ⋈ S

SQL：

SELECT * FROM R NATURAL JOIN S;

经典例子：查询学生及其选课成绩

S ⋈ SC

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2.5 条件连接（θ-连接）⋈[条件]

笛卡尔积 + 选择，等价于内连接。

语法：

R ⋈[条件] S

等价：

σ[条件](R × S)

SQL：

SELECT * FROM R JOIN S ON 条件;

例子：学生与选课按学号连接

S ⋈[S.Sno=SC.Sno] SC

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2.6 左外连接 / 右外连接 / 全外连接

左外连接 ⋊=（Left Outer Join）

左边全部保留，右边匹配不上填 NULL。

关系代数：

S ⋊= SC

SQL：

SELECT * FROM S LEFT JOIN SC ON S.Sno=SC.Sno;

用途：查所有学生，包括没选课的。

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3. 高级运算（考试/工程高频）

3.1 除运算 ÷（Division）

“包含全部”类查询：包含 S 中所有相关元组的 R 元组。

语法：

R ÷ S

经典例子：
查询选了所有课程的学生学号。

π[Sno,Cno(SC)] ÷ π[Cno(C)]

SQL 思路（分组+计数）：

SELECT Sno
FROM SC
GROUP BY Sno
HAVING COUNT(DISTINCT Cno) = (SELECT COUNT(*) FROM C);

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3.2 更名运算 ρ（Rename）

修改关系名/属性名，解决重名冲突。

语法：

ρ[新关系名(新属性1,新属性2...)(R)]

例子：把 SC 改名为 SC_NEW(S#, C#, G)

ρ[SC_NEW(S#,C#,G)(SC)]

SQL：

SELECT Sno AS S#, Cno AS C#, Grade AS G FROM SC AS SC_NEW;

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4. 组合查询大全（考试必背）

例 1：查询选了“数据库”的学生姓名

π[Sname( σ[Cname='数据库'(C ⋈ SC ⋈ S) ]]

SQL：

SELECT DISTINCT Sname
FROM Student
JOIN SC ON Student.Sno=SC.Sno
JOIN Course ON SC.Cno=Course.Cno
WHERE Cname='数据库';

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例 2：查询没选 1 号课的学生

π[Sno(S)] − π[Sno( σ[Cno=1(SC]) ]

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例 3：查询至少选了 2 门课的学生

π[Sno( σ[COUNT(*)>=2( γ[Sno;COUNT(*)(SC]) ]]

（带分组扩展 γ）

SQL：

SELECT Sno FROM SC GROUP BY Sno HAVING COUNT(*)>=2;

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例 4：查询成绩为空的学生（没成绩）

π[Sname(S ⋊= σ[Grade IS NULL(SC]) ]

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例 5：查询年龄大于 20 岁的女生

σ[Sage>20 ∧ Ssex='女'(S)]

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5. 关系代数 ↔ SQL 速记表

关系代数	SQL 对应	作用
σ条件	WHERE 条件	选行
πA,B	SELECT A,B	选列
R × S	CROSS JOIN	笛卡尔积
R ⋈ S	NATURAL JOIN	自然连接
R ⋈[c] S	JOIN ON c	条件连接
R ⋊= S	LEFT JOIN	左外连接
R ∪ S	UNION	并
R ∩ S	INTERSECT	交
R − S	EXCEPT	差
R ÷ S	GROUP BY+HAVING	包含全部
ρ	AS	更名

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